Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) (a,b,c,d là các số nguyên) . Biết 7a+b+c = 0 . Chứng minh rằng f(3) . f(-2) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:
\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)
\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)
\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên
Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
15 tháng 1 2022
Ta có:
\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f\left(x\right)=0x^3+0x^2+0x+0\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\left(theo.pp.đa.thức.đồng.nhất\right)\\ Chúc.bạn.học.Toán.tốt.\)
DN
6 tháng 4 2018
Làm hơi dài dòng tẹo nhé
f(0)=d là số lẻ
f(1)=a+b+c+d là số lẻ => a+b+c là số chẵn
Giả sử nghiệm x chẵn => f(x) lẻ khác 0 => loại
Giả sử nghiệm x lẻ
=> Tính chẵn lẻ của ax3 phụ thuộc vào a
Tính chẵn lẻ của bx2 phụ thuộc vào b
Tính chẵn lẻ của cx phụ thuộc vào c
d là số lẻ
Mà a+b+c là số chẵn=> ax3+bx2+cx là số chẵn => ax3+bx2+cx+d là số lẻ khác 0
Vậy f(x) không thể có nghiệm nguyên
Hơi khó hỉu chút nhé ahihi
3 tháng 3 2021
Đặt \(g(x)=10x\).
Ta có \(g\left(1\right)=10=f\left(1\right);g\left(2\right)=20=f\left(2\right);g\left(3\right)=30=f\left(3\right)\).
Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)-g\left(1\right)=0\\f\left(2\right)-g\left(2\right)=0\\f\left(3\right)-g\left(3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=Q\left(x\right).\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\).
\(\Rightarrow f\left(x\right)=10x+Q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)
\(\Rightarrow f\left(8\right)+f\left(-4\right)=80+Q\left(x\right).7.6.5+\left(-40\right)+Q\left(x\right).\left(-5\right).\left(-6\right).\left(-7\right)=80-50=40\).
9 tháng 3 2021
Đoạn cuối mình làm nhầm nhé.
Đáng lẽ phải cm Q(x) là đa thức dạng x + m, rồi biến đổi \(f\left(8\right)+f\left(-4\right)=80+Q\left(8\right).7.6.5+\left(-40\right)+Q\left(-4\right).\left(-5\right).\left(-6\right).\left(-7\right)=80-40+\left(m+8\right).7.6.5-\left(m-4\right).5.6.7=12.5.6.7+40=2560\).
Mình đánh vội nên chưa suy nghĩ kĩ.
Tham khảo: